Integrales por fracciones parciales

 

La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.

Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

 

 

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado  

Ejemplo:

 

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?

 

CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax + b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.

Ejemplo:

luego nos queda la siguiente igualdad

o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B

Haciendo un Sistema.

A + B = 02A - 2B = 1 , las soluciones son :

Quedando de esta manera:

con lo cual

 

 

 

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

 

 

 

EJEMPLO:

Calculemos la siguiente integral

 

 

Pero: Tendremos

 

 

 

Amplificando por   

 

Las Soluciones son:

 

 

Nos queda:

CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.

A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Ejemplo: 

 

Calcular:

 

 

 

 

Con lo que se obtiene

de donde

 

 

 

 

luego los valores a encontrar son.

 

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

 

CASO 4: Factores cuadráticos Iguales

A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

 

siendo los valores de A y B constantes reales.

Ejemplo:

Calcular la siguiente integral

tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de

 

 
la igualdad por el mínimo común denominador tenemos

 

 

Donde los valores de las constantes son

 

A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

 

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

  

 

 

 



 

 



Integrales por sustitución trigonométrica

 

 

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas,  como por ejemplo nuestra conocida fórmula:

 

 

 

la cual "resolveremos" con el fin de motivar el uso del método. Observe que si tomamos el cambio de variable

 

Sustituyendo x en términos de  , obtenemos una integral en la variable y en consecuencia dx=

 

Sustituyendo x en términos de  , obtenemos una integral en la variable    

obtenemos una integral en la variable , la cual resolvemos fácilmente y del cambio de variable la expresamos en términos de x.

 

 

 

Como podemos apreciar, al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolver una integral trigonométrica, como las que se resolvieron en la sección anterior.

 

 

 

 

Tangente y secante par

Tangente y secante par

Para resolver integrales de este tipo se sigue el mismo procedimiento anterior

1.Separar

2.Sustituir por identidad

3.Multiplicar el binomio

Para evitar repetir algún termino, se puede sustituir por una variable, y ya al final, vuelve a poner el termino original.

Seno y coseno

Seno, coseno, par e impar

Para este tipo de integrales se tiene que hacer lo siguiente:

1.Separar

2.Sustituir por identidad

3.Multiplicar el binomio

Seno y Coseno par

Ilate y método tabular

I L A T E

Inversa

Logarítmica

Algebraica

Trigonométrica

Exponencial 

Esta palabra permite clasificar de izquierda a derecha según correspondan, es decir, si la integral dice así:

La "x" es de tipo algebraica y la "e" exponencial, según ILATE, la letra A se encuentra antes que la E, por lo que la "x" será U en nuestra formula de integración por partes.

 

MÉTODO TABULAR

Este método será utilizado cuando el componente U tenga un exponente mayor a 2. Si se integra por partes el procedimiento es muy largo por lo que es conveniente utilizar la tabulación.

 

La tabla tendrá 3 columnas, la primera es de los signos y estos a su vez irán alternados, comenzando  con positivo, después negativo y así sucesivamente.

La segunda columna será de U y sus derivadas, la tercera de dv y sus integrales.

Finalmente para obtener el resultado, tenemos que unir el primer signo con la U de a lado y bajar una casilla, así sucesivamente hasta terminar.