Integrales por fracciones parciales

 

La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.

Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

 

 

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado  

Ejemplo:

 

¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?

 

CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax + b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar.

Ejemplo:

luego nos queda la siguiente igualdad

o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B

Haciendo un Sistema.

A + B = 02A - 2B = 1 , las soluciones son :

Quedando de esta manera:

con lo cual

 

 

 

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

 

 

 

EJEMPLO:

Calculemos la siguiente integral

 

 

Pero: Tendremos

 

 

 

Amplificando por   

 

Las Soluciones son:

 

 

Nos queda:

CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.

A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Ejemplo: 

 

Calcular:

 

 

 

 

Con lo que se obtiene

de donde

 

 

 

 

luego los valores a encontrar son.

 

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

 

CASO 4: Factores cuadráticos Iguales

A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

 

siendo los valores de A y B constantes reales.

Ejemplo:

Calcular la siguiente integral

tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de

 

 
la igualdad por el mínimo común denominador tenemos

 

 

Donde los valores de las constantes son

 

A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

 

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.